To δυαδικό σύστημα

Το δυαδικό σύστημα είναι ένα αριθμητικό σύστημα όπου κάθε ψηφίο μπορεί να πάρει μόνο 2 τιμές. Το 0 και το 1. Έτσι αν αντικαταστήσουμε το 10 με το 2 στον παρακάτω πίνακα, τότε προκύπτει το δυαδικό σύστημα. Παρακάτω, θα δούμε τι ισχύει στο δεκαδικό και πως θα το μετατρέψουμε σε δυαδικό.

Στο δεκαδικό σύστημα ισχύει ότι:

• Κάθε ψηφίο μπορεί να πάρει 10 τιμές [0, 9]
• Το ψηφίο 1 αντιστοιχεί στο 10⁰ δηλαδή στο 1 Σε όλα τα αριθμητικά συστήματα το 1^ο ψηφίο αντιστοιχεί στη μονάδα Το -“- 2 -“- στο 10¹ -“- 10
  Το -“- 3 -“- στο 10² -“- 100
• Το 1^ο δεκαδικό ψηφίο αντιστοιχεί στο 10^-1 δηλαδή στο 0,1
  Το 2^ο -“- 10^-2 -“- 0,01
  Το 3^ο -“- 10^-3 -“- 0,001

Στο δυαδικό σύστημα ισχύει ότι:

• Κάθε ψηφίο μπορεί να πάρει 2 τιμές [0, 1]
• Το ψηφίο 1 αντιστοιχεί στο 2⁰ δηλαδή στο 1
  Το -“- 2 -“- στο 2¹ -“- 2
  Το -“- 3 -“- στο 2² -“- 4
• Το 1^ο δεκαδικό ψηφίο αντιστοιχεί στο 2^-1 δηλαδή στο 0,5
  Το 2^ο -“- 2^-2 -“- 0,25
  Το 3^ο -“- 2^-3 -“- 0,125
• Έναν δυαδικό αριθμό μπορούμε να τον δούμε με 2 τρόπους:
  Ως προσημασμένο Δηλαδή έχει πρόσημο και μπορεί να πάρει θετικές ή αρνητικές τιμές.
  Ως μη προσημασμένο Δηλαδή είναι πάντα θετικός ή 0.

Ένας αρνητικός δυαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με 3 τρόπους:

• 1. Θεωρώντας το n ψηφίο (δηλ το αριστερότερο) του δυαδικού αριθμού ως πρόσημο.
     Αν είναι 0 ο αριθμός είναι θετικός και αν είναι 1 ο αριθμός είναι αρνητικός.
     Το πρόβλημα με αυτόν τον τρόπο είναι ότι το 0 μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο τρόπους. Ως +0 και ως -0.
  2. Θεωρώντας το n ψηφίο ως την τιμή -2^n-1+1.
     Δηλαδή αν έχουμε 4 δυαδικά ψηφία το 4^ο ψηφίο αντιστοιχεί στην τιμή -7.
     Στην περίπτωση αυτή ο αρνητικός αριθμός προκύπτει αντιστρέφοντας τα ψηφία του αντίστοιχου θετικού.
     Η αναπαράσταση αυτή ονομάζεται συμπλήρωμα ως προς 1.
     Και σε αυτήν την περίπτωση το πρόβλημα είναι ότι το 0 μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο τρόπους.
  3. Θεωρώντας το n ψηφίο ως την τιμή -2^n-1.
     Δηλαδή αν έχουμε 4 δυαδικά ψηφία το 4^ο ψηφίο αντιστοιχεί στην τιμή -8.
     Η αναπαράσταση αυτή ονομάζεται συμπλήρωμα ως προς 2 και είναι αυτή που χρησιμοποιούν τα ψηφιακά συστήματα και οι υπολογιστές.

Σημείωση:
Για να μπορούμε να ξεχωρίζουμε σε ποιο αριθμητικό σύστημα (βάση) είναι γραμμένος ένας αριθμός βάζουμε στο τέλος την βάση του ως δείκτη δηλαδή:
Ο αριθμός 3,14 του δεκαδικού συστήματος γράφεται 3,14₁₀
Ο αριθμός 1011 του δυαδικού συστήματος γράφεται 1011₂
Ο αριθμός 6725 του οκταδικού συστήματος γράφεται 6725₈
Ο αριθμός Α15Β του δεκαεξαδικού συστήματος γράφεται Α15Β₁₆

Έτσι ο αριθμός 1010,101₂ αντιστοιχεί στους αριθμούς 10,625₁₀ και -5,375₁₀ όπως φαίνεται παρακάτω:

 

Bit : Είναι το δυαδικό ψηφίο που έχει τιμές 0 ή 1
LSB : Least Significant Bit. Είναι το 1^ο ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού, που αντιστοιχεί στις μονάδες
MSB : Most Significant Bit. Είναι το τελευταίο ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού, που αντιστοιχεί στην τιμή
2^n-1 (αν ο αριθμός δεν είναι προσημασμένος) ή -2^n-1 (αν ο αριθμός είναι προσημασμένος)

Το οκταδικό σύστημα είναι μια συντομογραφία του δυαδικού συστήματος όπου ένα οκταδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε 3 δυαδικά και μπορεί να πάρει τις τιμές [0, 7].

Οκταδικό Ψηφίο	Δυαδικό Ψηφίο	Έτσι ο οκταδικός αριθμός : 625,1 αντιστοιχεί στον δυαδικό : 110 010 101 , 001 και στους δεκαδικούς : 405,125 ή -106,875 (με συμπλήρωμα ως προς 2)
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Το δεκαεξαδικό σύστημα είναι μια συντομογραφία του δυαδικού συστήματος όπου ένα δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε 4 δυαδικά και μπορεί να πάρει τις τιμές [0, 9] και τα γράμματα [A, F].

Δεκαεξαδικό Ψηφίο	Δυαδικό Ψηφίο	Έτσι ο δεκαεξαδικός αριθμός : A5C,6 αντιστοιχεί στον δυαδικό : 1010 0101 1100 , 1100 και στους δεκαδικούς : 2.652,75 ή -1.443,25 (με συμπλήρωμα ως προς 2)
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Σημείωση:
Στο δυαδικό σύστημα και στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές οι ακέραιοι αριθμοί αναπαρίστανται όπως δείχθηκε προηγουμένως.
Αυτό όμως δεν ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς. Οι πραγματικοί αριθμοί στο δυαδικό σύστημα όντως αναπαρίστανται όπως παραπάνω, αλλά στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές χρησιμοποιείται το πρότυπο IEEE-754.

Αναστάσιος Ευθυμίου
Για το SpeedTest.gr

 

Πηγή εικόνας: pixabay.com/en/users/fancycrave1-1115284/